Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{1}{8} \\ \frac{1}{14} & \frac{9}{112} \end{array}]$

Paso 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Paso 2

Find the determinant.

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 (\frac{9}{112}) - \frac{1}{14} \cdot \frac{1}{8}$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $0$ por $\frac{9}{112}$ .

$0 - \frac{1}{14} \cdot \frac{1}{8}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- \frac{1}{14} \cdot \frac{1}{8}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $\frac{1}{14}$ .

$0 - \frac{1}{8 \cdot 14}$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $8$ por $14$ .

$0 - \frac{1}{112}$

Paso 2.2.2

Resta $\frac{1}{112}$ de $0$ .

$- \frac{1}{112}$

Paso 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{1}{112}} [\begin{array}{c} \frac{9}{112} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{14} & 0 \end{array}]$

Paso 5

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 5.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{112}} [\begin{array}{c} \frac{9}{112} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{14} & 0 \end{array}]$

Paso 5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{\frac{1}{112}} [\begin{array}{c} \frac{9}{112} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{14} & 0 \end{array}]$

Paso 6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (1 \cdot 112) [\begin{array}{c} \frac{9}{112} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{14} & 0 \end{array}]$

Paso 7

Multiplica $- (1 \cdot 112)$ .

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Paso 7.1

Multiplica $112$ por $1$ .

$- 1 \cdot 112 [\begin{array}{c} \frac{9}{112} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{14} & 0 \end{array}]$

Paso 7.2

Multiplica $- 1$ por $112$ .

$- 112 [\begin{array}{c} \frac{9}{112} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{14} & 0 \end{array}]$

Paso 8

Multiplica $- 112$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} - 112 (\frac{9}{112}) & - 112 (- \frac{1}{8}) \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 9

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 9.1

Cancela el factor común de $112$ .

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Paso 9.1.1

Factoriza $112$ de $- 112$ .

$[\begin{array}{c} 112 (- 1) \frac{9}{112} & - 112 (- \frac{1}{8}) \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 9.1.2

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} 112 \cdot - 1 \frac{9}{112} & - 112 (- \frac{1}{8}) \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 9.1.3

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - 1 \cdot 9 & - 112 (- \frac{1}{8}) \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 9.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$[\begin{array}{c} - 9 & - 112 (- \frac{1}{8}) \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 9.3

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 9.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{8}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - 9 & - 112 (\frac{- 1}{8}) \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 9.3.2

Factoriza $8$ de $- 112$ .

$[\begin{array}{c} - 9 & 8 (- 14) \frac{- 1}{8} \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 9.3.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - 9 & 8 \cdot - 14 \frac{- 1}{8} \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 9.3.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - 9 & - 14 \cdot - 1 \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 9.4

Multiplica $- 14$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 9 & 14 \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 9.5

Cancela el factor común de $14$ .

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Paso 9.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{14}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - 9 & 14 \\ - 112 (\frac{- 1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 9.5.2

Factoriza $14$ de $- 112$ .

$[\begin{array}{c} - 9 & 14 \\ 14 (- 8) \frac{- 1}{14} & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 9.5.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - 9 & 14 \\ 14 \cdot - 8 \frac{- 1}{14} & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 9.5.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - 9 & 14 \\ - 8 \cdot - 1 & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 9.6

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 9 & 14 \\ 8 & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 9.7

Multiplica $- 112$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} - 9 & 14 \\ 8 & 0 \end{array}]$